Question

已知函數。
（I）求f(x)的單調區間；
（II）若對任意x∈［1，e］，使得g(x)≥－x²＋（a＋2）x恒成立，求實數a的取值范圍；
（III）設F（x）＝，曲線y＝F（x）上是否總存在兩點P，Q，使得△POQ是以O（O為坐標原點）為鈍角柄點的鈍角三角開，且最長邊的中點在y軸上？請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ 
∴當、時，在區間、上單調遞減.
當時，在區間上單調遞增.         ………3分
（Ⅱ）由，得．
∵，且等號不能同時取得，∴，
∵對任意，使得恒成立，
∴對恒成立，即．()
令，求導得，，     ………5分
∵，
∴在上為增函數，，．           ………7分
（Ⅲ）由條件，，
假設曲線上總存在兩點滿足：是以為鈍角頂點的鈍角三角形，且最長邊的中點在軸上，則只能在軸兩側.
不妨設，則．
∴， …（※），
是否存在兩點滿足條件就等價于不等式（※）在時是否有解．………9分
①    若時，，化簡得，對此不等式恒成立，故總存在符合要求的兩點P、Q；                   ………11分
②    若時，（※）不等式化為，若,此不等式顯然對恒成立，故總存在符合要求的兩點P、Q；
若a>0時，有…（▲），
設，則，
顯然， 當時，，即在上為增函數，
的值域為，即，
當時，不等式（▲）總有解．故對總存在符合要求的兩點P、Q.
………13分
綜上所述，曲線上總存在兩點，使得是以為鈍角頂點的鈍角三角形，且最長邊的中點在軸上.                               ………14分

略