Question

點(diǎn)M是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓左右焦點(diǎn)，則滿足|MF₁|=3|MF₂|的點(diǎn)M坐標(biāo)為

（±2，0）

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的定義結(jié)合|MF₁|=3|MF₂|算出|MF₁|=3且|MF₂|=1．再由向量的數(shù)量積運(yùn)算，得到cos∠F₁MF₂=1，從而得到∠F₁MF₂=0，由此可得M為長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，得到本題答案．

解答：解：∵根據(jù)橢圓的定義，得|MF₁|+|MF₂|=2a=4
∴結(jié)合|MF₁|=3|MF₂|，可得|MF₁|=3且|MF₂|=1
∵

F1F2

=

MF2

-

MF1

∴平方得|

F1F2

|²=|

MF2

|²+|

MF1

|²-2|

MF2

|•|

MF1

|cos∠F₁MF₂，
即4=9+1-2×3×1×cos∠F₁MF₂，可得cos∠F₁MF₂=1
∴∠F₁MF₂=0，可得M在長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，可得M（±2，0）
故答案為：（±2，0）

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的方程，求橢圓上滿足|MF₁|=3|MF₂|的點(diǎn)M坐標(biāo)．著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．