Question

以下五個關于圓錐曲線的命題中：
①平面內到定點A（1，0）和定直線l：x=2的距離之比為

1

2

的點的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
②點P是拋物線y²=2x上的動點，點P在y軸上的射影是M點A的坐標是A（3，6），則|PA|+|PM|的最小值是6；
③平面內到兩定點距離之比等于常數λ（λ＞0）的點的軌跡是圓；
④若動點M（x，y）滿足

(x-1)2+(y+2)2

=|2x-y-4|，則動點M的軌跡是雙曲線；
⑤若過點C（1，1）的直線l交橢圓

x2

4

+

y2

3

=1于不同的兩點A，B，且C是AB的中點，則直線l的方程是3x+4y-7=0．
其中真命題的序號是

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①求出平面內到定點A（1，0）和定直線l：x=2的距離之比為

1

2

的點的軌跡方程，即可判斷

x2

4

+

y2

3

=1的正誤；
②確定點A（3，6）的位置，即可判定|PA|+|PM|的最小值是6是否正確；
③找出反例即可否定平面內到兩定點距離之比等于常數λ（λ＞0）的點的軌跡是圓；
④利用雙曲線的第二定義判斷：若動點M（x，y）滿足

(x-1)2+(y+2)2

=|2x-y-4|，則動點M的軌跡是雙曲線是否正確；
⑤若過點C（1，1）的直線l交橢圓

x2

4

+

y2

3

=1于不同的兩點A，B，且C是AB的中點，求出直線l的方程是否為3x+4y-7=0，即可判定正誤．

解答：解：①平面內到定點A（1，0）和定直線l：x=2的距離之比為

1

2

的點的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1，顯然不正確，因為（2，0）在直線x=2上；
②點P是拋物線y²=2x上的動點，點P在y軸上的射影是M點A的坐標是A（3，6），則|PA|+|PM|的最小值是6；因為（3，6）在拋物線的內部，所以正確；
③平面內到兩定點距離之比等于常數λ（λ＞0）的點的軌跡是圓，λ=1時是直線，所以不正確；
④若動點M（x，y）滿足

(x-1)2+(y+2)2

=|2x-y-4|，則動點M的軌跡是雙曲線，顯然不正確，因為不滿足雙曲線的定義；
⑤若過點C（1，1）的直線l交橢圓

x2

4

+

y2

3

=1于不同的兩點A，B，且C是AB的中點，則直線l的方程是3x+4y-7=0，滿足題意，正確．
故答案為：②⑤

點評：本題是中檔題，考查圓錐曲線的基本性質，軌跡方程的求法，綜合能力比較強，知識面比較寬，常考題型．