Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N⁺），可歸納猜想出{a_n}的通項公式為a_n=

2

n(n+1)

．

Answer 1

分析：數列{a_n}中，前n項和為S_n，由a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*），可得s₁；由s₂可得a₂的值，從而得s₂；同理可得s₃，s₄；可以猜想：s_n=

2n

n+1

，最后結合S_n=n²a_n（n≥2）即可猜想此數列的通項公式，本題不需要證明．

解答：解：在數列{a_n}中，前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*），
∴s₁=a₁=1=

2×1

1+1

；s₂=1+a₂=4a₂，∴a₂=

1

3

，s₂=

4

3

=

2×2

2+1

；
s₃=1+

1

3

+a₃=9a₃，∴a₃=

1

6

，s₃=

3

2

=

2×3

3+1

；s₄=1+

1

3

+

1

6

+a₄=16a₄，
∴a₄=

1

10

，s₄=

8

5

=

2×4

4+1

；
…于是猜想：s_n=

2n

n+1

．
∴猜想此數列的通項公式a_n=

2

n(n+1)

．
故答案為：

2

n(n+1)

．

點評：本題考查了用遞推公式，通過歸納推理，求數列的前n項和為S_n，需要有一定的計算能力和歸納猜想能力．