Question

（2013•北京）已知函數f（x）=(2cos2x-1)sin2x+

1

2

cos4x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）若α∈（

π

2

，π），且f（α）=

2

2

，求α的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦函數以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過周期公式求f（x）的最小正周期，利用三角函數的最值求出函數的最大值；
（Ⅱ）通過α∈(

π

2

， π)，且f(α)=

2

2

，求出α的正弦值，然后求出角即可．

解答：解：（Ⅰ）因為f(x)=(2cos2x-1)sin2x+

1

2

cos4x
=

1

2

sin4x+

1

2

cos4x
=

2

2

sin(4x+

π

4

)
∴T=

2π

4

=

π

2

，
函數的最大值為：

2

2

．
（Ⅱ）∵f（x）=

2

2

sin(4x+

π

4

)，f(α)=

2

2

，
所以sin(4α+

π

4

)=1，
∴4α+

π

4

=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴α=

π

16

+

kπ

2

，又∵α∈(

π

2

， π)，
∴α=

9

16

π．

點評：本題考查二倍角的余弦函數正弦函數的應用，兩角和的正弦函數，三角函數的周期與最值的求法，以及角的求法，考查計算能力．