Question

（2013•北京）已知函數f（x）=x²+xsinx+cosx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同交點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意可得f′（a）=0，f（a）=b，聯立解出即可；
（II）利用導數得出其單調性與極值即最值，得到值域即可．

解答：解：（I）f′（x）=2x+xcosx，
∵曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，
∴f′（a）=0，f（a）=b，聯立

2a+acosa=0 a2+asina+cosa=b

，解得

a=0 b=1

，
故a=0，b=1．
（II）∵f′（x）=x（2+cosx）．
于是當x＞0時，f′（x）＞0，故f（x）單調遞增．
當x＜0時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
∴當x=0時，f（x）取得最小值f（0）=1，
故當b＞1時，曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同交點．故b的取值范圍是（1，+∞）．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值及其幾何意義是解題的關鍵．