Question

已知數列{a_n}，S_n是其前n項和，并且S_n+1=4a_n+2（n=1，2，…），aΘ=1．
（1）設數列b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，…）求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）設數列cn=

an

2n

（n=1，2，…）求證：數列{c_n}是等差數列；
（3）求數列{a_n}的通項公式及前n項和．

Answer 1

分析：（1）利用題意和S_n+1-S_n=a_n+1得到數列{a_n}的遞推公式，再代入

bn

bn-1

進行化簡，得到比值是常數即可；（2）由（1）可得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，再代入c_n-c_n-1進行化簡，得到差是常數即可；
（3）由（2）可求a_n=（3n-1）•2^n-2，代入s_n+1=4a_n+2可求s_n+1，進而求出s_n．

解答：解：（1）由題意得，S_n+1=4a_n+2   ①，
       當n≥2時   S_n=4a_n-1+2   ②，
①-②得，a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∴當n≥2時，

bn

bn-1

=

an+1-2an

an-2an-1

=

4an-4an-1-2an

an-2an-1

=

2an-4an-1

an-2an-1

=2，
且b₁=a₂-2a₁=3，
∴{b_n}是以2為公比，3為首項的等比數列，
（2）由（1）得b_n=b₁•q^n-1=3•2^n-1，則a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴a_n-2a_n-1=3•2^n-2，
當n≥2時，c_n-c_n-1=

an

2n

-

an-1

2n-1

=

an-2an-1

2n

=

3•2n-2

2n

=

3

4

，
且C₁=

a1

2

=

1

2

，
∴{C_n}為

3

4

為公差，以

1

2

為首項的等差數列，
（3）由（2）得C_n=C₁+（n-1）•d=

3n-1

4

，即

an

2n

=

3n-1

4

，
∴a_n=（3n-1）•2^n-2（n∈N^*）
∵S_n+1=4a_n+2，
∴S_n+1=4•（3n-1）•2^n-2+2=（3n-1）•2ⁿ+2
即S_n=（3n-4）2^n-1+2（n∈N^*）．

點評：本題主要考查了利用遞推公式轉化：“和”與“項”，進而求數列的遞推公式，利用定義法證明數列是等差（等比）數列也是數列中的重點，要注意掌握運用．