Question

【題目】如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，側棱SA⊥底面ABCD，

過A作AE垂直SB交SB于E點，作AH垂直SD交SD于H點，平面AEH交SC于K點，且AB=1，SA=2．

（1）證明E、H在以AK為直徑的圓上，且當點P是SA上任一點時，試求的最小值；

（2）求平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）將側面繞側棱旋轉到與側面在同一平面內，當三點共線時，取最小值，這時，的最小值即線段的長，由此能求出結果；

（2）以A為原點,分別以AB、AD、AS所在的直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面AEKH與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.

（1）∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，

∴BC⊥平面SAB，又平面SAB，∴EA⊥BC，又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC ，

又平面SBC，∴EA⊥EK， 同理 AH⊥KH，

∴E、H在以AK為直徑的圓上

現將側面SAB繞側棱SA旋轉到與側面SAD在同一平面內，如右圖示，

則當B、P、H三點共線時，取最小值，這時，的

最小值即線段BH的長，設,則，

在中，∵,∴,

在三角形BAH中，有余弦定理得：

∴.

（2）以A為原點,分別以AB、AD、AS所在的直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則S（0，0，2），C（1，1，0），由（1）可得AE⊥SC，AH⊥SC，

∴SC⊥平面AEKH，為平面AEKH的一個法向量，

為平面ABCDF的一個法向量，設平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的平面角為，則

∴平面AEKH與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值