Question

已知函數f（x）是R上的偶函數，滿足f（x）=-f（x+1），當x∈[2011，2012]時，f（x）=x-2013，則（　�。�

• A．f(sin

  π

  3

  )＞f(cos

  π

  3

  )
• B．f（sin2）＞f（cos2）
• C．f(sin

  π

  5

  )＜f(cos

  π

  5

  )
• D．f（sin1）＜f（cos1）

Answer 1

分析：由f（x）=-f（x+1）故函數的周期為2．再由當x∈[2011，2012]時，f（x）=x-2013，可得f（x）在[-1，0]上是
增函數．再由f（x）是R上的偶函數，可得f（x）[0，1]上是減函數．檢驗各個選項是否正確即可．

解答：解：由f（x）=-f（x+1）可得 f（x）=f（x+2），故函數的周期為2．
當x∈[2011，2012]時的圖象與x∈[-1，0]時的圖象形狀一樣，只是左右位置不同．
由于x∈[2011，2012]時，f（x）=x-2003，這是一個增函數，所以f（x）在[-1，0]上是增函數．
已知函數f（x）是R上的偶函數，則在f（x）[0，1]上是減函數．
由于 1＞sin

π

3

＞cos

π

3

＞0，∴f(sin

π

3

)＜f(cos

π

3

)，故A錯．
由于 1＞|sin2|＞|cos2|＞0，∴f（|sin2|）＜f（|cos2|），故B錯．
由于 0＜sin

π

5

＜cos

π

5

＜1，∴f（sin

π

5

 ）＜f（cos

π

5

 ），故C正確．
由于 1＞sin1＞cos1＞0∴f（sin1）＜f（cos1），故D錯．
故選C．

點評：本題主要考查函數的奇偶性和單調性的應用，屬于中檔題．