Question

已知，設
（1）若函數f（x）和函數g（x）的圖象關于原點對稱，求函數g（x）的解析式；
（2）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵-=（-2cosx，2sin-2cos），|-|=4cos²x+=4cos²x+4-4sinx，
∴f（x）=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx…（3分）
設（x，y）為g（x）圖象上任意一點，則（-x，-y）為f（x）圖象上的點，
∴-y=sin²（-x）+2sin（-x）=sin²x-2sinx，
∴y=-sin²x+2sinx即g（x）=-sin²x+2sinx…（6分）
（2）h（x）=-sin²x+2sinx-λ（sin²x+2sinx）+1
=（-1-λ）sin²x+（2-2λ）sinx+1，…（8分）
h'（x）=-2（1+λ）sinxcosx+（2-2λ）cosx，
∵h（x）在[-，]上是增函數
∴h′（x）≥0在[-，]恒成立，
即-2（1+λ）sinxcosx+（2-2λ）cosx≥0，當x=±時，不等式恒成立
當x∈（-，）時，cosx＞0，
∴-2（1+λ）sinx+2-2λ≥0即λ≤=-1+，…（10分）
∵sinx∈（-1，1）
∴-1+∈（0，+∞），
∴λ≤0 …（12分）
分析：（1）利用向量的坐標運算與三角函數間的關系式可求得f（x）=sin²x+2sinx，由f（x）和函數g（x）的圖象關于原點對稱，可求得函數g（x）的解析式；
（2）依題意可求得h（x）的解析式，利用h′（x）≥0在[-，]恒成立即可求得實數λ的取值范圍．
點評：本題考查向量的坐標運算與三角函數間的關系式，考查三角函數的最值，考查導數在研究函數單調性與最值中的應用，綜合性強，難度大，屬于難題．