Question

已知函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．
（I）用a表示b，并求b的最大值；
（II）求證：f（x）≥g（x）（x＞0）

Answer 1

解：（I）設(shè)函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象有公共點(diǎn)（x₀，y₀）
又
由題意：
由②得x₀=a（其中x₀=-3a舍去）
代入到①中得

考慮到
∴上單調(diào)遞減，
故取得最大值．
（II）設(shè)

∴F（x）在（0，a]上單調(diào)遞減，在[a，+∞）上單調(diào)遞增，
故F（x）≥F（a）=f（a）-g（a）=f（x₀）-g（x₀）=0，
即f（x）≥g（x）
分析：（I）設(shè)出函數(shù)的公共點(diǎn)，對(duì)兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)上的切線相同，得到兩個(gè)關(guān)系式，整理變化出b的函數(shù)式，求出最大值．
（II）構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)兩個(gè)函數(shù)做差，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)在正數(shù)范圍上的單調(diào)性，求出最小值，最小值等于0，得到不等式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在求最值的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的性質(zhì)，得到要求的結(jié)論，注意本題的運(yùn)算不要出錯(cuò)．