Question

【題目】數列為遞增的等比數列, ，

數列滿足．

（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）求證： 是等差數列；

（Ⅲ）設數列滿足，且數列的前項和，并求使得對任意都成立的正整數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2） 是首項為1，公差為2的等差數列． （3）4

【解析】試題分析：（1）根據{an}為遞增的等比數列且a32=a1a5，得到a1=1，a3=4，a5=16，進而求得an，bn的通項公式；（2）利用等差數列定義加以證明;（3）利用裂項相消法求數列的前n項和，再用分離參數法和單調性求m的最小值．

試題解析：

（1）數列為遞增的等比數列，則其公比為正數，又，當且僅當時成立。此時公比 所以．

（2） 因為 ，所以，即．

所以是首項為，公差為2的等差數列．

（3），所以．

，

，n∈N*，即數列{Tn}是遞增數列．∴當n=1時，Tn取得最小值，

要使得對任意n∈N*都成立，結合（Ⅰ）的結果，只需，

，故正整數m的最小值為4.