Question

【題目】已知圓錐曲線的方程為．

（）在所給坐標系中畫出圓錐曲線．

（）圓錐曲線的離心率__________．

（）如果頂點在原點的拋物線與圓錐曲線有一個公共焦點，且過第一象限，則

（i）交點的坐標為__________．

（ii）拋物線的方程為__________．

（iii）在圖中畫出拋物線的準線．

（）已知矩形各頂點都在圓錐曲線上，則矩形面積的最大值為__________．

Answer 1

【答案】（）見解析（）（）（i）（ii）（iii）見解析（4）面積最大值

【解析】（）將變形為，根據在第一象限的范圍內算出幾個點的坐標，然后進行描點作圖，再利用對稱性畫出整個橢圓

（2）∵

∴

∴

∴

∴圓錐曲線的離心率是

（3）（i）由（2）得橢圓的焦點在軸上，且

∵頂點在原點的拋物線與圓錐曲線有一個公共焦點，且過第一象限

∴

（ii）由（i）得拋物線的焦點為，且過第一象限，所以拋物線的方程為

（iii）由（ii）得拋物線的準線方程為

（）∵圓錐曲線為

，

， ， ，

∴離心率，

公共焦點，

對于拋物線：

，∴，

∴方程為，準線為，

設矩形上點，

∴ ，

當時，即時

為面積最大值．