Question

【題目】已知函數，其中.

（1）若函數在處取得極值，求實數的值；

（2）在（1）的結論下，若關于的不等式，當時恒成立，求的值；

（3）令，若關于的方程在內至少有兩個解，求出實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) ;(2);(3) 實數的范圍是.

【解析】分析：（1）根據求得；（2）由題意結合分離參數可得對恒成立，構造函數，，利用導數可得，故得,又，所以得到．

（3）由題意，令，構造函數，則由題意得可得方程在區間上只少有兩個解．然后分類討論可得實數的范圍是．

詳解：（1）∵，

∴，

又函數在處取得極值，

∴，解得．

經驗證知滿足條件，

∴．

（2）當時，，

∴．

由題意得對恒成立，

∴對恒成立．

令，，

則，

∴在上單調遞增，

∴，

∴,

又，

∴．

（3）由題意得，

令，設

則方程在區間上只少有兩個解，

又，

∴方程在區間上有解，

由于，

①當時，，函數在上是增函數，且，

∴方程在區間上無解；

②當時，，同①可得方程無解；

③當時，函數在上遞增，在上遞減，且，

要使方程在區間上有解，則，即，

∴；

④當時，函數在上遞增，在上遞減，且，

此時方程在內必有解；

⑤當時，函數在上遞增，在上遞減，且，

∴方程在區間內無解．

綜上可得實數的范圍是.