Question

某安全生產監督部門對5家小型煤礦進行安全檢查(簡稱安檢).若安檢不合格，則必須整改.若整改后經復查仍不合格，則強行關閉.設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5，整改后安檢合格的概率是0.8，計算(結果精確到0.01).

(1)恰好有兩家煤礦必須整改的概率；

(2)某煤礦不被關閉的概率；

(3)至少關閉一家煤礦的概率.

Answer 1

解：(1)每家煤礦必須整改的概率是1-0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的，所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是

P₁=×(1-0.5)²×0.5³=≈0.31.

(2)解法一：某煤礦被關閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經復查仍不合格，所以該煤礦被關閉的概率是P₂=(1-0.5)×(1-0.8)=0.1,從而該煤礦不被關閉的概率是0.90.

解法二：某煤礦不被關閉包括兩種情況：①該煤礦第一次安檢合格；②該煤礦第一次安檢不合格，但整改后安檢合格.

    所以該煤礦不被關閉的概率是

P₂=0.5+(1-0.5)×0.8=0.90.

(3)由題設及(2)可知，每家煤礦不被關閉的概率是0.9，且每家煤礦是否被關閉是相互獨立的，所以至少關閉一家煤礦的概率是P₃=1-0.9⁵≈0.41.

點評:主要考查概率的應用，獨立重復試驗，對立事件，互斥事件.