Question

已知點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)y=sinx（-π＜x＜0）圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且x₁＜x₂，給出下列不等式：
①sinx₁＜sinx₂；
②sin

x1

2

＜sin

x2

2

；
③

1

2

(sinx1+sinx2)＞sin

x1+x2

2

；
④

sinx1

x1

＞

sinx2

x2

．
其中正確不等式的序號(hào)是

②③

．

Answer 1

分析：由于函數(shù)y=sinx（-π＜x＜0）的單調(diào)性不確定，可得出①不正確；由函數(shù)y=sinx在（-

π

2

，0）上是增函數(shù)，可得②成立．由于函數(shù)y=sinx的圖象在（-

π

2

，0）
上是下凹型的，而

1

2

(sinx1+sinx2)表示線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可得③成立．根據(jù)斜率公式，且OB的斜率大于OA的斜率，可得④不正確．

解答：解：由于函數(shù)y=sinx（-π＜x＜0）的單調(diào)性不確定，故由x₁＜x₂，不能推出①sinx₁＜sinx₂ ． 故①sinx₁＜sinx₂ ，不一定成立．
由題意可得-

π

2

＜

x1

2

＜

x2

2

＜0，而函數(shù)y=sinx在（-

π

2

，0）上是增函數(shù)，故有②sin

x1

2

＜sin

x2

2

成立．
由于函數(shù)y=sinx的圖象在（-

π

2

，0）上是下凹型的，而

1

2

(sinx1+sinx2)表示線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，故有③

1

2

(sinx1+sinx2)＞sin

x1+x2

2

成立．
由于

sinx1

x1

表示直線OA的斜率，

sinx2

x2

表示直線OB的斜率，且OB的斜率大于OA的斜率，故④

sinx1

x1

＞

sinx2

x2

不正確，
故答案為 ②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要正弦函數(shù)的單調(diào)性，線段的中點(diǎn)公式以及直線的斜率公式的應(yīng)用，屬于中檔題．