Question

（本小題滿分12分）已知函數，，
（1）      判斷函數的奇偶性，并證明；
（2） 判斷的單調性,并說明理由。（不需要嚴格的定義證明,只要說出理由即可）
（3） 若，方程是否有根？如果有根，請求出一個長度為1的區間，使；如果沒有，請說明理由。（注：區間的長度＝）

Answer 1

（1） 為奇函數，證明：見解析；
（2）時，單調遞增；，單調遞減。
（3）方程有根。

試題分析：(1)根據f(-x)=-f(x)可知此函數是奇函數。
（2）      分a>1和0<a<1兩種情況研究即可。a>1時，是兩個增函數的和，0<a<1時，是兩個減函數的和。
從而確定其單調性與底數a有關系。
(3) 當，，又,再令,
然后判斷g(-1),g(0)的值，從而判斷y=g(x)在(-1,0)上是否存在零點,從而達到證明f(x)=x+1是否在(-1,0)上有根的目的。
（1）   為奇函數……………………１分
證明：∵的定義域為R，關于原點對稱  …………………2分
又 …………………………………………３分
所以可知為奇函數……………………………………………４分
（2） ∵＝
① 當時，單調遞增，單調遞減，
所以單調遞增…………………………………………………６分
②當時，單調遞減，單調遞增，
所以單調遞減。
綜上可知時，單調遞增；，單調遞減。
………………………………………………８分
（3）當，，又
設…………………………………９分
∵ ………………………………………………１０分
∴ ，故存在零點
即方程有根……………………………………………１２分
點評：掌握判斷函數奇偶性的方法：一要看定義域是否關于原點對稱，二要看f(-x)與f(x)的關系。
要掌握函數單調性的定義，它是證明抽象函數單調性的依據。函數的零點與方程的根的關系要搞清楚，它是實現根與零點的判斷轉化的依據。