Question

【題目】已知曲線上的任意一點到兩定點、距離之和為，直線交曲線于兩點，為坐標原點．

（1）求曲線的方程；

（2）若不過點且不平行于坐標軸，記線段的中點為，求證：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；

（3）若直線過點，求面積的最大值，以及取最大值時直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）或

【解析】

（1）利用橢圓的定義可知曲線為的橢圓，直接寫出橢圓的方程．

（2）設直線，設，聯立直線方程與橢圓方程，通過韋達定理求解KOM，然后推出直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值．

（3）設直線方程是與橢圓方程聯立，根據面積公式，代入根與系數的關系，利用換元和基本不等式求最值.

（1）由題意知曲線是以原點為中心，長軸在軸上的橢圓，

設其標準方程為，則有，

所以，∴ .

（2）證明：設直線的方程為，

設

則由 可得，即

∴，∴ ，

，

，

∴直線的斜率與 的斜率的乘積=為定值

（3）點，

由 可得，

，解得

∴

設

當時，取得最大值.

此時，即

所以直線方程是