Question

下列四個命題中正確的個數(shù)為（　�。�
①若-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，則3x-y的取值范圍是[1，7]；
②若不等式2x-1＞m（x²-1）對滿足|m|≤2的所有實數(shù)m都成立，則實數(shù)x的取值范圍是（

7 -1

2

，

3 +1

2

）；
③若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是[9，+∞）；
④若實數(shù)a，b，c滿足a＞b，a＞c，且a²+bc=4+ac+ab，則2a-b-c的最小值是4．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：①由題意，求出0≤x≤2，結(jié)合1≤x-y≤3，求出3x-7的取值范圍；
②將原不等式化為含參數(shù)x的關(guān)于m的一次不等式（x²-1）m-（2x-1）＜0，構(gòu)造函數(shù)f（m）=（x²-1）m-（2x-1），求出x的取值范圍；
③根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，求出

ab

≥3，即得ab的取值范圍；
④根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，求出（a-c）（a-b）=4，得2a-b-c的最小值．

解答： 解：對于①，∵

-1≤x+y≤1 1≤x-y≤3

，∴0≤x≤2，即0≤2x≤4，
∴1≤3x-y≤7，即3x-7的取值范圍是[1，7]；∴命題正確；
對于②，原不等式化為（x²-1）m-（2x-1）＜0，
令f（m）=（x²-1）m-（2x-1）（|m|≤2），
則

f(-2)=-2(x2-1)-(2x-1)＜0 f(2)=2(x2-1)-(2x-1)＜0

；
解得

7 -1

2

＜x＜

3 +1

2

，
∴x的取值范圍是（

7 -1

2

，

3 +1

2

）；命題正確；
對于③，∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2

ab

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”；
又∵ab=a+b+3，∴ab≥2

ab

+3，解得

ab

≥3，
∴ab≥9，即ab的取值范圍是[9，+∞）；命題正確；
對于④，∵a＞b，a＞c，∴a-b＞0，a-c＞0；
又∵a²+bc=4+ac+ab，∴（a-c）（a-b）=4；
∴2a-b-c=（a-b）+（a-c）≥2

(a-b)(a-c)

=4，當(dāng)且僅當(dāng)a-b=a-c=2時“=”成立；∴命題正確．
綜上，正確的命題是①②③④．
故選：D．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了基本不等式的應(yīng)用問題，不等式的解法與應(yīng)用問題，構(gòu)造函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想等，是綜合題．