Question

給出以下命題：
（1）函數y=f（x）的圖象與直線x=2最多有一個交點；
（2）當sinx≠0時，函數y=sin2x+

4

sin2x

的最小值是4；
（3）函數y=

1

2x-1

-m是奇函數的充要條件是m=

1

2

；
（4）滿足f(

1

2

-x)=f(

3

2

+x)和f（x-1）=-f（x）的函數f（x）一定是偶函數；
則其中正確命題的序號是

（1）（4）

．

Answer 1

分析：（1）由函數的概念可判斷（1）正確；
（2）由基本不等式可判斷（2）的正誤；
（3）令f（x）=

1

2x-1

-m，由f（x）+f（-x）=0可求得m，從而可判斷其正誤；
（4）利用函數的周期性與對稱性可判斷（4）的正誤．

解答：解：（1）由函數的概念可知，自變量與相應的函數值是一一對應的，故（1）正確；
（2）由基本不等式“一正，二定，三等”可知sin²x≠

4

sin2x

，故（2）錯誤；
（3）令f（x）=

1

2x-1

-m，由f（x）+f（-x）=0可得：

1

2x-1

+

2x

1-2x

-2m=0，
∴m=-

1

2

，
∴（3）錯誤；
（4）∵f（x-1）=-f（x），
∴f（x-2）=-f（x-1）=f（x），即f（x）是以2為周期的函數；
又f(

1

2

-x)=f(

3

2

+x)，令

1

2

-x=t，則

3

2

+x=2-t，
∴f（t）=f（2-t），
∴f（x）關于x=1對稱；
∴f（x）=f（2-x）=f（-x），
∴f（x）是偶函數，故（4）正確．
綜上所述，其中正確命題的序號是（1）（4）

點評：本題考查基本不等式，考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，考查函數的性質應用，屬于綜合題，是難題．