Question

給出以下命題：
（1）若

∫

b a

f(x)dx＞0，則f（x）＞0；  
（2）

∫

2π 0

|sinx|dx=4；
（3）應用微積分基本定理，有

∫

2 1

1

x

dx=F(2)-F(1)，則F（x）=lnx；
（4）f（x）的原函數為F（x），且F（x）是以T為周期的函數，則

∫

a 0

f(x)dx=

∫

a+T T

f(x)dx；
其中正確命題的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）根據微積分基本定理，得出）∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，可以看到與f（x）正負無關．
（2）注意到sinx在[0，2π]的取值符號不同，根據微積分基本運算性質，化為∫₀^πsinxdx+∫_π^2π（-sinx）dx求解，判斷．
（3）根據函數導數運算性質，應有  F（x）=lnx+c  （c為常數）．
（4）根據微積分基本定理，兩邊分別求解，再結合F（a+T）=F（a），F（T）=F（0）判定．

解答：解：（1）由∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，得F（b）＞F（a），未必f（x）＞0．（1）錯誤．
（2）∫₀^2π|sinx|dx=∫₀^π|sinx|dx+∫_π^2π|sinx|dx=∫₀^πsinxdx+∫_π^2π（-sinx）dx=（-cosx）|_0^π+cosx|π^2π=1-（-1）+1-（-1）=4．（2）正確．
（3）根據函數導數運算性質，若F′（x）=

1

x

，應有  F（x）=lnx+c  （c為常數），（3）錯誤．
（4）∫₀^af（x）dx=F（a）-F（0），∫_T^a+Tf（x）dx=F（a+T）-F（T）=F（a）-F（0），即

∫

a 0

f(x)dx=

∫

a+T T

f(x)dx；（4）正確．
正確命題的個數為2，
故選B．

點評：本題考查微積分基本定理，微積分基本運算性質．屬于基礎題型．