精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知圓O：x²+y²=4，A（-1，0），B（1，0），直線l與圓O切于點(diǎn)S（l不垂直于x軸），拋物線過A、B兩點(diǎn)且以l為準(zhǔn)線，以F為焦點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)S在圓周上運(yùn)動時，求證：|FA|+|FB|為定值，并求出點(diǎn)F的軌跡C方程；
（2）曲線C上有兩個動點(diǎn)M，N，中點(diǎn)D在直線y=l上，若直線l′經(jīng)過點(diǎn)D，且在l′上任取一點(diǎn)P（不同于D點(diǎn)），都存在實數(shù)λ，使得 $數(shù)學(xué)公式$ ，證明：直線l′必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）分別作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁，OO₁⊥l于O₁，
根據(jù)拋物線的定義|FA|+|FB|=|AA₁|+|BB₁|=2|OO₁|=4，
∴2a=4，c=1，
曲線C： $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$ ，
∴MN⊥l′，
令MN：y=kx+m， $\text{[math]}$ ，
整理，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴ $\text{[math]}$ ，
4k²+3=3m，
則 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，恒過（0，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）分別作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁，OO₁⊥l于O₁，根據(jù)拋物線的定義|FA|+|FB|=|AA₁|+|BB₁|=2|OO₁|=4，由此能求出曲線C的方程．
（2）由 $\text{[math]}$ ，知MN⊥l′，令MN：y=kx+m， $\text{[math]}$ ，整理，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，再由韋達(dá)定理能證明：直線l′必過定點(diǎn)，并能求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，證明直線l′必過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．

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已知圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長軸，離心率為

的橢圓，其左焦點(diǎn)為F．若P是圓O上一點(diǎn)，連接PF，過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），求證：直線PQ與圓O相切；
（3）試探究：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請證明；若不是，請說明理由．

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已知圓o：x²+y²=b²與橢圓

=1(a＞b＞0)有一個公共點(diǎn)A（0，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線AF被圓所截得的弦長為1．
（1）求橢圓方程．
（2）圓o與x軸的兩個交點(diǎn)為C、D，B（ x₀，y₀）是橢圓上異于點(diǎn)A的一個動點(diǎn)，在線段CD上是否存在點(diǎn)T（t，0），使|BT|=|AT|，若存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓O：x²+y²=9，定點(diǎn) A（6，0），直線l：3x-4y-25=0
（1）若P為圓O上動點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程
（2）設(shè)E、F分別是圓O和直線l上任意一點(diǎn)，求線段EF的最小值．