Question

已知f（x）=

bx+1

2x+a

，a，b為常數，且ab≠2．
（1）若f（x）•f（

1

x

）=k，求常數k的值．
（2）若f[f（1）]=

k

2

，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意分別得到f（x）和f（

1

x

）的解析式，算出f（x）•f（

1

x

）化簡后等于k，根據合分比性質得到k即可；
（2）先求出f（1）再求出f[f（1）]由已知它等于

k

2

，化簡后利用合分比性質得到a與b的值即可．

解答：解：（1）由題可知：f（x）•f（

1

x

）=

bx+1

2x+a

•

b x + 1

2 x +a

=

bx2+(b2+1)x+b

2ax2+(a2+4)x +2a

=k
則根據合分比性質得：

b

2a

=

b2

a2

=

1

4

=

b

2a

=k，即k=

1

4

；
（2）∵f（1）=

b+1

2+a

則若f[f（1）]=f[

b+1

2+a

]=

b2+b+2+a

2b+2+2a+a2

=

k

2

根據合分比性質得：

b2

2b

=

b

2

=

2

2a

=

a

a2

=

k

2

可得：a=

2

k

，b=k．

點評：此題考查學生理解函數的定義，以及合分比性質的靈活運用．