Question

（本題滿分14分）
已知動圓過定點P(1,0)且與定直線相切,點C在上.
（Ⅰ）求動圓圓心M的軌跡方程;
（Ⅱ）設過點P且斜率為的直線與曲線交于A、B兩點.問直線上是否存在點C ,使得是以為直角的直角三角形？如果存在，求出點C的坐標;若不能,請說明理由.

Answer 1

解：①據已知，動圓圓心到點的距離與到直線的距離相等。由拋物線的定義，可知。動圓圓心的軌跡方程為拋物線：。…….5分
②
從已知得  
由得：
解出：。
所以點坐標為點坐標為。……………9分
法一:設，使為直角。，
求得,所以，直線上存在點 ,使得是以為直角的直角三角形。                              ………14分
法二:設D為AB中點,過D 作DC垂直于于C.
∵P為拋物線焦點
∴,又∵D為AB中點,,∴CD為梯形的中位線. ∴,∴∠
設,.所以，直線上存在點 ,使得是以為直角的直角三角形。     ………..14分
 

略