Question

如圖，已知三棱錐A-BCD的側視圖，俯視圖都是直角三角形，尺寸如圖所示．
（1）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（2）在線段AC上是否存在點F，使得BF⊥面ACD？若存在，求出CF的長度；若不存在說明理由．

Answer 1

（1）取BD的中點O，連AO，則AO⊥面CBD．
以O為原點建立空間直角坐標系，如圖．
A（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2

3

，0），D（-1，0，0）．

AB

=(1，0，-1)，

CD

=(-2，-2

3

，0)，cos＜

AB

，

CD

＞=-

2

4

．
所以所求異面直線AB與CD所成角的余弦值為

2

4

；（5分）
（2）設

CF

=λ

CA

，
則

BF

=

BC

+

CF

=(-λ，2

3

(1-λ)，λ)
由BF⊥面ACD得：

BF • CA =2λ-12(1-λ)=0 BF • AD =λ-λ=0

解得λ=

6

7

，
|

CF

|=

6

7

|

CA

|=

6

7

14

，（5分）