Question

（本小題滿分15分） 已知函數f(x)＝－1＋2sinxcosx＋2cos2x.
(1)求f(x)的單調遞減區間；
(2)求f(x)圖象上與原點最近的對稱中心的坐標；
(3)若角α，β的終邊不共線，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．

Answer 1

(1) [kπ＋，kπ＋](k∈Z) ;(2) (－，0) ;(3) .

解析試題分析：f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，
(1)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋ (k∈Z)
得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
∴f(x)的單調遞減區間為[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
(2)由sin(2x＋)＝0得2x＋＝kπ(k∈Z)，
即x＝－ (k∈Z)，
∴f(x)圖象上與原點最近的對稱中心的坐標是(－，0)．
(3)由f(α)＝f(β)得：
2sin(2α＋)＝2sin(2β＋)，
又∵角α與β的終邊不共線，
∴(2α＋)＋(2β＋)＝2kπ＋π(k∈Z)，
即α＋β＝kπ＋ (k∈Z)，∴tan(α＋β)＝.
考點：二倍角公式；和差公式；三角函數的性質。
點評：求函數的單調區間，一定要注意的正負，此為易錯點，也是常考點。此題屬于基礎題型。