Question

已知數列{a_n}滿足a1=

3

5

，an+1=

an

2an+1

，
（Ⅰ）計算出a₂、a₃、a₄；
（Ⅱ）猜想數列{a_n}通項公式a_n，并用數學歸納法進行證明．

Answer 1

分析：（I）利用數列遞推式，代入計算，即可求a₂、a₃、a₄；
（Ⅱ）由（I）知分子是3，分母是以首項為5公差為6的等差數列，從而猜想數列{a_n}通項公式，利用數學歸納法即可證明．

解答：解：（Ⅰ）∵a1=

3

5

，an+1=

an

2an+1

，
∴a2=

a1

2a1+1

=

3

11

，a3=

3

17

，a4=

3

23

-------------------------（3分）；
（Ⅱ）由（I）知分子是3，分母是以首項為5公差為6的等差數列
∴猜想數列{a_n}通項公式：an=

3

6n-1

---------------------（5分）
用數學歸納法證明如下：
①當n=1時，由題意可知a1=

3

5

，命題成立．------（6分）
②假設當n=k（k≥1，k∈N）時命題成立，即ak=

3

6k-1

，----（7分）
那么，當n=k+1時，ak+1=

ak

2ak+1

=

3 6k-1

2× 3 6k-1 -1

=

3

6k+5

=

3

6(k+1)-1

也就說，當n=k+1時命題也成立----------------------------------------------（12分）
綜上所述，數列{a_n}的通項公式為an=

3

6n-1

---------------------------（13分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查數學歸納法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．