Question

【題目】在直角坐標系中，曲線與直線交于兩點，

（Ⅰ）當時，求在點和處的切線方程；

（Ⅱ）若軸上存在點，當變動時，總有,試求出坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）過的切線斜率為切線方程為：，與聯立方程得，, 由得,同理求N點處的切線方程；（Ⅱ）當時，，聯立直線和拋物線再結合韋達定理代入上式，可得到結果.

（Ⅰ）當時，聯立方程得或，

不妨取和，設過的切線斜率為，

則其切線方程為：，與聯立方程得，，

由得，

分所以曲線在的切線方程為：，

同理，曲線在的切線方程為：.

綜上在點和處的切線方程分別為和，

（Ⅱ）聯立方程，消去整理得，

設，斜率分別為，則由根與系數關系得，

由題意，當時，

，

將代入整理得恒成立，所以．

所以軸上存在點，當變動時，總有.