Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左頂點與拋物線y²=2px的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-2，-1），則雙曲線的焦距為（　　）

• A、2

  3

• B、2

  5

• C、4

  3

• D、4

  5

Answer 1

分析：根據題意，點（-2，-1）在拋物線的準線上，結合拋物線的性質，可得p=4，進而可得拋物線的焦點坐標，依據題意，可得雙曲線的左頂點的坐標，即可得a的值，由點（-2，-1）在雙曲線的漸近線上，可得漸近線方程，進而可得b的值，由雙曲線的性質，可得c的值，進而可得答案．

解答：解：根據題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-2，-1），
即點（-2，-1）在拋物線的準線上，又由拋物線y²=2px的準線方程為x=-

p

2

，則p=4，
則拋物線的焦點為（2，0）；
則雙曲線的左頂點為（-2，0），即a=2；
點（-2，-1）在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為y=±

1

2

x，
由雙曲線的性質，可得b=1；
則c=

5

，則焦距為2c=2

5

；
故選B．

點評：本題考查雙曲線與拋物線的性質，注意題目“雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-2，-1）”這一條件的運用，另外注意題目中要求的焦距即2c，容易只計算到c，就得到結論．