Question

已知函數f（x）=-

1

x

-1
（1）畫出函數f（x）的大致圖象，并寫出函數的定義域，值域．
（2）用定義證明函數f（x）在區間（0，+∞）上是單調增函數．

Answer 1

分析：（1）f（x）=-

1

x

-1的圖象可由y=-

1

x

的圖象向下平移一個單位得到，由圖形可得定義域和值域；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，變形可判f（x₁）-f（x₂）＜0，可得單調性．

解答：解：（1）f（x）=-

1

x

-1的圖象可由y=-

1

x

的圖象，向下平移一個單位得到，
故可知作函數的大致圖象如圖：

故可得函數的定義域為{x|x≠0}，值域為{y|y≠-1}；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-

1

x1

-1-（-

1

x2

-1）
=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0，
∴

x1-x2

x1x2

＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x₁）＜f（x₂），即函數f（x）單調遞增，
∴f（x）在區間（0，+∞）上是單調增函數．

點評：本題考查函數圖象的作法，涉及定義法證明函數的單調性，屬中檔題．