Question

【題目】在直角坐標系中，已知動直線的參數方程：，（為參數，） ，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）若直線與曲線恰好有2個公共點時，求直線的一般方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 曲線的直角坐標方程為或；（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）解極坐標方程得到或，再化為直角坐標方程.

(Ⅱ)由題意可知：直線與直線總有一個公共點，又與直線有一個切點，分直線恰過點與不過兩種情況，分別求得直線的方程即可.

（Ⅰ）由得

，

所以或，

即曲線的直角坐標方程為或.

(Ⅱ)由參數方程的意義可知：

直線過且傾斜角為，且，

易知直線與直線總有一個公共點，

又單位圓與直線有一個切點，

當直線恰過點時，

此時直線的方程為，滿足與曲線恰好有2個公共點；

當直線不過點時，則與單位圓必相切，此時，

設直線，則有，

解得，又，故，

此時直線的方程為：；

綜上可得，滿足條件的直線的一般方程為或.