Question

【題目】如圖，在菱形中，，，對角線與交于點，點，分別在，上，滿足，交于點.將沿折到的位置， .

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）證明及，從而證明平面，問題得證。

（Ⅱ）以為坐標原點，分別以，，的方向為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系.求出平面的一個法向量，與所成角的余弦值的絕對值就是與平面所成的角的正弦值.再利用向量夾角公式即可求解。

（Ⅰ）證明：由菱形性質得， ，由勾股定理可得，又已知，可得.因此，從而，由得，，又，所以有，即，所以平面，所以得證.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直線，，兩兩相互垂直，如圖，以為坐標原點，分別以，，的方向為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系.

則，，，，，，，，設是平面的一個法向量，則即 解得，，所以可取.設與平面所成的角為，則 .