Question

已知函數f(x)=2acos2x+bsinxcosx，且f(0)=2，f(

π

3

)=

1

2

+

3

2

．
（1）求f（x）的最大值與最小值；
（2）若α-β≠kπ，k∈Z，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=2 求得a值，由f(

π

3

)=

1

2

a+

3

4

b，得b=2，化簡f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1，可得最值．
 （2）f（α）=f（β），可得2α+

π

4

=2kπ+(2β+

π

4

)或2α+

π

4

=2kπ+π-(2β+

π

4

)，得到α+β的值，從而求得tan（α+β）的值．

解答：解：（1）由f（0）=2a=2，得a=1，由f(

π

3

)=

1

2

a+

3

4

b，得b=2，
∴f（x）=2cos²x+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
∴f（x）的最大值是

2

+1，最小值是1-

2

．
（2）∵f（α）=f（β），∴sin(2α+

π

4

)=sin(2β+

π

4

)．
∴2α+

π

4

=2kπ+(2β+

π

4

)或2α+

π

4

=2kπ+π-(2β+

π

4

)，
∴α-β=kπ(舍去)或α+β=kπ+

π

4

，k∈Z，∴tan(α+β)=tan(kπ+

π

4

)=1．

點評：本題考查兩角和的正弦、正切公式的應用，以及正弦函數的值域，得到2α+

π

4

=2kπ+(2β+

π

4

)或2α+

π

4

=2kπ+π-(2β+

π

4

)是解題的難點．