Question

（1）請寫出一個各項均為實數且公比0＜q＜1的等比數列，使得其同時滿足a₁+a₆=11且a3•a4=

32

9

；
（2）在符合（1）條件的數列中，能否找到一正偶數m，使得am，  

a

2 m

，  -

1

9

這三個數依次成等差數列？若能，求出這個m的值； 若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據a₁•a₆=a₃•a₄，可知a₁，a₆應該是方程x2-11x+

32

9

=0的兩個根，進而求出q和a₁的值，得到通項公式；
（2）由am，  

a

2 m

，  -

1

9

成等差數列得出2

a

2 m

=am-

1

9

，再由（1）得出m的值．

解答：解：（1）由條件可知a₁，a₆應該是方程x2-11x+

32

9

=0的兩個根，
解得

a1= 1 3  a6= 32 3

或

a1= 32 3  a6= 1 3

，繼而得到q=2或q=

1

2

，（4分）
所以符合條件的等比數列可以是an=

1

3

•2n-1（公比q＞1舍去），（3分）
或an=

32

3

•(

1

2

)n-1=

1

3

•26-n(n∈N*)，符合條件（3分）
（2）對于an=

32

3

•(

1

2

)n-1=

1

3

•26-n（3），
由2

a

2 m

=am-

1

9

，（2分）
解得m=6．（2分）

點評：本題考查了等差數列的性質以及等比數列的通項公式，要注意公比0＜q＜1的，屬于中檔題．