Question

函數f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減．
（1）求實數a的值；
（2）設g（x）=bx²-1，若關于x的方程f（x）=g（x）的解集中含有3個元素，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出原函數的導函數，根據原函數在[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，得導函數在兩個區間內的符號，由導函數在兩區間內的符號列式求解a的值；
（2）由方程f（x）=g（x）的解集中含有3個元素，得到得x²（x²-4x+4-b）=0有3個不相等的實根，轉化為二次方程有兩個不同的實根，然后由二次方程的判別式大于0求解b的范圍．

解答：解：（1）∵f'（x）=4x³-12x²+2ax=2x（2x²-6x+a），
又 f（x）在[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減．
∴在[0，1]上恒有f'（x）≥0，在[1，2]上恒有f'（x）≤0，
令g（x）=2x²-6x+a，
即在[0，1]上恒有g（x）≥0，在[1，2]上恒有g（x）≤0，
即

g(1)=a-4=0 g(2)=a-4≤0

，∴a=4．
（2）由f（x）=g（x）的解集中含有3個元素，得x²（x²-4x+4-b）=0有3個不相等的實根．
故x²-4x+4-b=0有兩個不相等的非零實根，∴△=16-4（4-b）＞0，且4-b≠0．
解得：0＜b＜4，或b＞4，
∴b∈（0，4）∪（4，+∞）．

點評：本題考查了函數的單調性與導數的關系，考查了根的存在性與根的個數的判斷，考查了數學轉化思想方法，是中檔題．