Question

函數f（x）=x⁴-2ax²，g（x）=1．
（1）求證：函數f（x）與g（x）的圖象恒有公共點；
（2）當x∈（0，1]時，若函數f（x）圖象上任一點處切線斜率均小于1，求實數a的取值范圍；
（3）當x∈[0，1]時，關于x的不等式|f′（x）|＞g（x）的解集為空集，求所有滿足條件的實數a的值．

Answer 1

分析：（1）兩個函數的交點轉化為一個函數與x軸的交點，轉化為對應方程的有實數解，換元轉化為二次方程有非負實數根，由送別式恒大于0與兩根之積為負得二次方程一定有正根，問題得證．
（2）求導，由題意得導數恒小于1，分離參數a，設另一邊為函數，求導得導數恒大于0，函數在（0，1]上遞增，得最值，求出參數a的取值范圍；
（3）把函數解析式代入不等式，考慮反面，轉化為恒成立問題，設絕對值符號內的為F（x），求導，得函數單調性，結合函數圖象，討論函數在[0，1]上的單調性，進而求出最值，令最值的絕對值小于等于1，得實數a的值．

解答：解：（1）設h（x）=f（x）-g（x）
即證函數h（x）與x軸有交點，
即證方程x⁴-2ax²-1=0有實根，設t=x²
即證方程t²-2at-1=0有非負實數根，
而△=4a²+4＞0，t₁t₂=-1＜0
∴方程t⁴-2at-1=0恒有正根
∴f（x）與g（x）圖象恒有公共點（4分）
（2）f′（x）=4x³-4ax
∵當0＜x≤1時4xa＞4x³-1恒成立
即a＞x2-

1

4x

，設y=x²-

1

4x

，
則y′=2x+

1

4x2

＞0，
∴y=x²-

1

4x

在（0，1]上單調遞增，
∴a＞1-

1

4

=

3

4

∴a的取值范圍為(

3

4

，+∞)（8分）
（3）由題設知當x∈[0，1]時，|4x³-4ax|≤1恒成立
記F（x）=4x³-4ax
若a≤0則F（1）=4（1-a）≥4不滿足條件
故a＞0而F′(x)=12x2-4a=12(x-

a 3

)(x+

a 3

)
①當

a 3

＜1時，即0＜a＜3時，F（x）在[0，

a 3

]上遞減，在[

a 3 ，1

]上遞增，
于是

F(x)min=F( a 3 ) F(x)max=max{F(0)，F(1)}=max{0，4-4a}

∴

F( a 3 )≥-1 4-4a≤1

，∴

a≤ 3 4 a≥ 3 4

，∴a=

3

4

②當

a 3

≥1時，即a≥3時，F（x）在[0，1]上遞減，
于是

F(x)min=F(1)=4-4a≥-1?a≤ 5 4 F(x)max=F(0)=0≤1

矛盾
綜上所述：a=

3

4

（14分）

點評：本題考查導數在最大值、最小值問題中的應用，一是當問題從正面不容易解決時，注意從反面進行突破，這是一難點，二是把不等式問題轉化為求函數的最值，三是在求最值過程中，需求函數的單調性，在求單調性的過程中，要分類討論，這又是一難點，四把問題最后再轉化為求不等式．