Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且x≥0時，．
（I）求f（-1）的值；
（II）求函數f（x）的值域A；
（III）設函數的定義域為集合B，若A⊆B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據函數是偶函數，把-1轉化到給出解析式的范圍上，代入解析式可求．
（II）因為f（x）是定義在R上的偶函數，所以x≥0時函數值的取值集合就是函數f（x）的值域A，求出（x≥0）的取值集合即可．
（III）先寫出x所要滿足的一元二次不等式，因為A=（0，1]⊆B，
法一：把不等式分解因式，很容易看出兩根，一根為-1又B中含有正數，所以另一根一定大于-1得定義域B=[-1，a]，得實數a的取值范圍；
法二：設為函數，利用函數圖象，（0，1]在圖象與x軸的兩交點之間，圖象開中向上，x=0，x=1時對應的函數小于等于0，得不等式組，可求實數a的取值范圍．
解答：解：（I）∵函數f（x）是定義在R上的偶函數
∴f（-1）=f（1）
又x≥0時，
∴，即f（-1）=．
（II）由函數f（x）是定義在R上的偶函數，
可得函數f（x）的值域A即為
x≥0時，f（x）的取值范圍，
當x≥0時，
故函數f（x）的值域A=（0，1]．
（III）∵
定義域B={x|-x²+（a-1）x+a≥0}={x|x²-（a-1）x-a≤0}
方法一：由x²-（a-1）x-a≤0得（x-a）（x+1）≤0
∵A⊆B∴B=[-1，a]，且a≥1（13分）
∴實數a的取值范圍是{a|a≥1}
方法二：設h（x）=x²-（a-1）x-a
A⊆B當且僅當即
∴實數a的取值范圍是{a|a≥1}
點評：本題考查函數的奇偶性，集合包含關系的判斷，函數值域，函數的奇偶性在求相反兩個自變量的函數值時很好用，在求值域上也可只求y軸一側的，由集合的包含關系求參數范圍時，用端點比較法，結合圖象，更好理解．