Question

【題目】如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點，是與的交點．將沿折起到的位置，如圖．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．

【解析】

試題（Ⅰ）先證，，再可證平面，進而可證平面；（Ⅱ）先建立空間直角坐標系，再算出平面和平面的法向量，進而可得平面與平面夾角的余弦值．

試題解析：（Ⅰ）在圖1中，

因為，，是的中點，，所以

即在圖2中，，

從而平面

又，所以平面．

（Ⅱ）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，，

所以為二面角的平面角，所以．

如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，

因為，

所以

得，．

設平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，

則，得，取，

，得，取，

從而，

即平面與平面夾角的余弦值為．