Question

已知函數y=2sinx（sinx+cosx）-1
（1）求函數的最小正周期
（2）求函數的遞增區間
（3）畫出此函數在區間[-

π

2

，

π

2

]上的圖象．

Answer 1

分析：（1）首先整理函數的式子，進行三角函數式的恒等變換，先相乘，再用二倍角公式進行降冪，再利用輔角公式寫出最簡結果，用周期公式做出周期．
（2）根據正弦曲線的遞增區間，寫出使得函數的角在這一個區間上，解出其中的x的值，求出函數的單調區間．
（3）根據所給的區間，列出表格，取出幾個關鍵點，畫出坐標系，在坐標系中描出各個點，用光滑曲線把點連接起來，單調函數的圖象．

解答：解：（1）y=2sinx（sinx+cosx）-1=2sin²x+2sinxcosx-1
=sin2x-cos2x
=

2

sin(2x-

π

4

)
∴最小正周期為π
（2）根據正弦曲線的遞增區間知當2x-

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]
即x∈[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]
∴函數的遞增區間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，（k∈z）
（3）首先列出表格

x	- π 2	- π 8	π 8	3π 8	π 2
2x- π 4	- 5π 4	- π 2	0	π 2	3π 4
y	1	- 2	0	2	1

點評：本題考查三角函數的變換和三角函數的性質，這是一個非常適合作為高考題目的題，這種題目注意三角恒等變換時不要出錯，不然后面的運算都會出錯．