Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，CB=

2

，側棱AA₁=1，側面AA₁B₁B的兩條對角線交于點D，B₁C₁的中點為M，求證：CD⊥平面BDM．

Answer 1

分析：先以CB為x軸，CC₁為y軸，CA為z軸建立空間直角坐標系，然后分別確定點B、M、D的坐標，進而確定

CD

、

BD

、

BM

的坐標，再通過計算得向量乘積為0，證得

CD

⊥

BD

，

CD

⊥

BM

，則問題得證．

解答：證明：由題意知AC、BC、CC₁兩兩垂直，
則以CB為x軸，CC₁為y軸，CA為z軸建立空間直角坐標系．
因為CB=

2

，CC₁=AA₁=1，CA=1，M為B₁C₁的中點．
所以B（

2

，0，0），M（

2

2

，1，0），
又因為點D是矩形AA₁B₁B的兩條對角線的交點，
所以D（

2

2

，

1

2

，

1

2

），
則

CD

=（

2

2

，

1

2

，

1

2

），

BM

=（-

2

2

，1，0），

BD

=（-

2

2

，

1

2

，

1

2

），
所以

CD

•

BM

=-

1

2

+

1

2

=0，

CD

•

BD

=-

1

2

+

1

4

+

1

4

=0，
所以

CD

⊥

BM

，

CD

⊥

BD

，
又BM∩BD=B，
所以CD⊥平面BDM．

點評：本題考查向量法解決立體幾何問題．