Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的極小值；

（2）若對任意的，函數的圖像恒在軸上方，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依題意，求出，由得：，對導函數值進行分析，從表格中可得函數的極小值；

（2）根據題意轉化為恒成立，再對實數討論，判斷函數的單調性求出函數的最小值，解出實數的取值范圍，或運用參變分離的方法求實數的取值范圍.

（1）定義域為.

當時，，

.

令得：，且導函數在附近函數值正負分布如下表：

	-	0	+
	單調遞減	極小值	單調遞增

則函數的極小值為.

（2）依題意有：在恒成立，即，

由于，故.

①當時，在上單調遞增，

則滿足條件.

②當時，在上單調遞減，在單調遞增，

則，

即，即，

解得：，此時：，

綜上：的取值范圍是：.

方法二：參變分離法，即

記，則，

，

令，則在小于0，在大于0，

于是：在單調遞減，在單調遞增，

故：，于是，

綜上：的取值范圍是：.