Question

設圓P與圓M：（x+2）²+y²=1和圓N：（x+2）²+y²=1中的一個內切，另一個外切
（1）求點P的軌跡方程；
（2）若|PM|=2|PN|²，求|PN|的值．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用已知條件轉化P滿足的關系式，判斷軌跡方程滿足的圓錐曲線的定義，求出軌跡方程．
（2）利用雙曲線的定義，以及已知條件列出方程求解即可．

解答： 解：（1）由題意可得，兩圓的圓心分別為M（-2，0）、N（2，0）
因此可得|PM|+1=|PN|-1或|PN|+1=|PM|-1…（4分）
所以||PM|-|PN||=2＜|MN|=4…（5分）
所以點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長a=1，c=2，b=

3

的雙曲線．…（6分）
所以雙曲線的方程為x²-

y2

3

=1…（8分）
（2）由題意可得|PN|≥1
∵|PM|=2|PN|²，①
知|PM|＞|PN|，
所以|PM|=|PN|+2．②…（9分）
將②代入①，得2||PN|²-|PN|-2=0，…（10分）
解得|PN|=

1± 17

4

，（舍去

1- 17

4

）．
所以|PN|=

1+ 17

4

．…（12分）

點評：本題考查雙曲線的定義，軌跡方程的求法，注意條件的應用，考查轉化思想以及計算能力．