Question

已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y軸距離的差都等于1，
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點M（-1，0）的直線與曲線C有兩個交點A，B，且FA⊥FB，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）設出點P的坐標，由題意列出符合條件的關系式，整理后即可得到曲線C的方程；
（2）設出直線l的方程x=ty-1，同時設出兩個交點的坐標，把直線方程和拋物線方程聯立后化為關于y的一元二次方程，得到根與系數關系，由FA⊥FB，得到它們對應的向量的數量積等于0，代入向量坐標后整理成僅含有兩交點縱坐標的和與積的形式，代入根與系數后求解t的值，驗證判別式大于0成立，由此可求出直線l的斜率．

解答：解：（1）設p（x，y）是曲線C上任意一點，
因為C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y軸距離的差都等于1，
所以點p（x，y）滿足

(x-1)2+y2

-x=1(x＞0)．
化簡得：y²=4x（x＞0）；
（2）設直線與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設直線l的方程為x=ty-1
由

x=ty-1 y2=4x

，得y²-4ty+4=0，
得

y1+y2=4t y1y2=4

①
由FA⊥FB，得

FA

•

FB

=0
又

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)
所以

FA

•

FB

=0?(x1-1)(x2-1)+y1y2=0
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0②
又x=

y2

4

，于是（2）等價于

y12

4

y22

4

+y1y2-(

y12

4

+

y22

4

)+1=0．

(y1y2)2

16

+y1y2-

1

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+1=0③
把①式代入③，整理得4t²=8，t=±

2

．
滿足△=16（t²-1）＞0．
∴直線l的斜率為±

2

2

．

點評：本題考查了與直線有關的軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，此類問題的解決經常用到直線與曲線聯立方程后的根與系數關系，該題中對直線l的設法對解答該題有著事半功倍的作用，避免了討論直線斜率不存在的情況，是中高檔題．