Question

設數列的前項和為，數列滿足：，已知對任意都成立
（1）求的值
（2）設數列的前項的和為，問是否存在互不相等的正整數，使得成等差數列，且成等比數列？若存在，求出；若不存在，說明理由

Answer 1

（1）（2）不存在滿足條件的正整數m，k，r，使得成等差數列，且成等比數列.

試題分析：（1）先利用遞推關系式求出數列的通項，再利用對任意都成立，證明出數列是首項為1，公比為3的等比數列并求出其通項然后，所以對任意都成立，進而求出t的值；
（2）由（1）得然后利用錯位相減法解出
再由成等差數列,且成等比數列.得m=r.這與矛盾，所以，不存在滿足條件的正整數m，k，r，
試題解析：（1）當時，
當時，也適合上式.
所以（）            .2分
因為多任意都成立，
所以
所以且
所以數列是首項為1，公比為3的等比數列.
所以，         ..4分
即
因為，
所以
所以對任意都成立，
所以，                     6分
（2）由（1）得，
所以
所以

兩式相減，得



解得                          ..8分
若存在互不相等的正整數,使得成等差數列,且成等比數列.
則
即.
由成等差數列,得所以.
所以由得.
即
所以
即即即m=r.
這與矛盾
所以，不存在滿足條件的正整數m，k，r，              .10分