Question

【題目】已知函數，如果存在給定的實數對，使得恒成立，則稱為“函數”；

（1）判斷函數，是否是“函數”；

（2）若是一個“函數”，求出所有滿足條件的有序實數對；

（3）若定義域為的函數是“函數”，且存在滿足條件的有序實數對和，當時，的值域為，求當時的值域；

Answer 1

【答案】(1) 不是“函數”， ，是“函數” ;(2) ;(3)

【解析】

（1）分別假設兩函數是“函數”，列出方程恒成立. 通過判斷方程的解的個數判斷出不是，對于對于列出方程恒成立,是“函數”．
（2）據題中的定義，列出方程恒成立，通過兩角和差的正切公式展開整理，令含未知數的系數為0，求出．
（3）利用題中的新定義，列出兩個等式恒成立；將用代替，兩等式結合得到函數值的遞推關系；用不完全歸納的方法求出值域．

(1)若是“函數”，則存在常數對，使得.

即，對恒成立，而最多有兩個解,

所以不是“函數”.

若是函數，則存在常數對，使得，

即存在常數對滿足條件.

所以是“函數”.

(2) 是“函數”,設常數對滿足，

恒成立.

當時，不是常數.

所以，.

.

所以恒成立.

即 ，即,所以，.

又當以，.

所以當是一個“函數”時，.

(3) 函數是“函數”，且存在滿足條件的有序實數對和.

所以, ,

由得.

因為時，的值域為.

當時，，由

所以時，的值域為.

又 有，即.

所以是以2為周期的函數.

當時的值域為：.