Question

如果甲、乙兩個乒乓球選手進行比賽，而且他們的水平相當，規定“7局四勝”，即先贏四局者勝，若已知甲先贏了前兩局．
求：（Ⅰ）乙取勝的概率；
（Ⅱ）比賽打滿七局的概率；
（Ⅲ）設比賽局數為ξ，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

分析：（1）若已知甲先贏了前兩局，列舉乙勝的可能情況，第一種是乙連勝四局；第二種是在第3局到第6局，乙贏了3局，第7局乙贏．列出兩種情況求和．
（2）比賽打滿七局有兩種結果：甲勝或乙勝，實際上甲勝和乙勝的概率是一樣的，設出事件列出算式得結果．
（3）比賽最少要打四局，最多是七局，所以離散型隨機變量的取值是4、5、6、7，寫出分布列，得到期望．

解答：解：（Ⅰ）當甲先贏了前兩局時，乙取勝的情況有兩種：
第一種是乙連勝四局；第二種是在第3局到第6局，乙贏了3局，第7局乙贏．
在第一種情況下，乙取勝的概率為(

1

2

)4=

1

16

在第二種情況下，乙取勝的概率為

C

3 4

(

1

2

)4•

1

2

=

1

8

所以當甲先贏了前兩局時，乙取勝的概率為

1

16

+

1

8

=

3

16

．

（Ⅱ）比賽打滿七局有兩種結果：甲勝或乙勝，記“比賽打滿七局甲勝”為事件A；
記“比賽打滿七局乙勝”為事件B．則P(A)=

C

1 4

(

1

2

)4(

1

2

)=

1

8

P(B)=

C

3 4

(

1

2

)4(

1

2

)=

1

8

又A，B互斥，所以比賽打滿七局的概率為P(A)+P(B)=

1

4

（或第3～6局中甲甲勝1局乙勝3局，P=

C

1 4

(

1

2

)3(

1

2

)=

1

4

．

（Ⅲ）P(ξ=4)=(

1

2

)2=

1

4

P(ξ=5)=

C

1 2

(

1

2

)2(

1

2

)=

1

4

P(ξ=6)=

C

1 3

(

1

2

)3(

1

2

)+(

1

2

)4=

1

4

P(ξ=7)=

C

1 4

(

1

2

)4(

1

2

)+

C

3 4

(

1

2

)4(

1

2

)=

1

4

所以ξ的分布列為：

Eξ=（4+5+6+67）×

1

4

=5.5．

點評：本題這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．