Question

（2013•上海）對區間I上有定義的函數g（x），記g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定義域為[0，3]的函數y=f（x）有反函數y=f^-1（x），且f^-1（[0，1））=[1，2），f^-1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）-x=0有解x₀，則x₀=

2

．

Answer 1

分析：根據互為反函數的兩函數定義域、值域互換可判斷：當x∈[0，1）時，x∈[1，2）時f（x）的值域，進而可判斷此時f（x）=x無解；由f（x）在定義域[0，3]上存在反函數可知：x∈[2，3]時，f（x）的取值集合，再根據方程f（x）=x有解即可得到x₀的值．

解答：解：因為g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f^-1（[0，1））=[1，2），f^-1（2，4]）=[0，1），
所以對于函數f（x），
當x∈[0，1）時，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）-x=0即f（x）=x無解；
當x∈[1，2）時，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）-x=0即f（x）=x無解；
所以當x∈[0，2）時方程f（x）-x=0即f（x）=x無解，
又因為方程f（x）-x=0有解x₀，且定義域為[0，3]，
故當x∈[2，3]時，f（x）的取值應屬于集合（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），
故若f（x₀）=x₀，只有x₀=2，
故答案為：2．

點評：本題考查函數的零點及反函數，考查學生分析解決問題的能力，屬中檔題．