Question

如圖所示,四邊形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,點E、F分別在BC、AD上,EF∥AB.現將四邊形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC,設AD中點為P.

(1)當E為BC中點時,求證:CP∥平面ABEF;
(2)設BE=x,問當x為何值時,三棱錐ACDF的體積有最大值?并求出這個最大值.

Answer 1

（1）見解析  （2）當x=3時, 有最大值,最大值為3

(1)證明:取AF的中點Q,
連接QE、QP,
則QPDF,
又DF=4,EC=2,且DF∥EC,
所以QPEC,
即四邊形PQEC為平行四邊形,
所以CP∥EQ,
又EQ?平面ABEF,CP?平面ABEF,
故CP∥平面ABEF.
(2)解:因為平面ABEF⊥平面EFDC,
平面ABEF∩平面EFDC=EF,
又AF⊥EF,所以AF⊥平面EFDC.
由已知BE=x,所以AF=x(0<x≤4),FD=6-x.
故=··2·(6-x)·x
=(6x-x²)
=[-(x-3)²+9]
=-(x-3)²+3,
∴當x=3時,有最大值,最大值為3.