Question

(本題滿分14分)在一個特定時段內，以點為中心的7海里以內海域被設為警戒水域.點正北55海里處有一個雷達觀測站.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點北偏東且與點相距海里的位置，經過40分鐘又測得該船已行駛到點北偏東+(其中

sin=，)且與點相距海里的位置C.

（Ⅰ）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；

（Ⅱ）該船不改變航行方向繼續行駛，判斷它是否會進入警戒水域；若進入請求出經過警戒水域的時間，并說明理由.

南安一中2010-2011學年高一年（下）期末考試數學試卷

Answer 1

解：（I）如圖，AB=40，AC=10，

由于,所以cos=             …………………………2分

由余弦定理得BC=       …………………………4分

所以船的行駛速度為（海里/小時）                …………………………6分

（II）解法一 如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，

設點B、C的坐標分別是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,BC與x軸的交點為D.

由題設有，x₁=y₁= AB=40,          

x₂=ACcos,

y₂=ACsin

所以過點B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40. …………………………9分

又點E（0，-55）到直線l的距離d=

故該船會進入警戒水域.                                       …………………………12分

進入警戒水域所行駛的路程為海里            …………………………13分

小時，所以經過警戒水域的時間為小時.    …………………………14分

解法二:  如圖所示，設直線AE與BC的延長線相交于點Q.

在△ABC中，由余弦定理得，

==.    …………………8分

從而

在中，由正弦定理得，

AQ=……………………10分

由于AE=55>40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE-AQ=15.

過點E作EP BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離.

在Rt中，

PE=QE·sin= ………12分

故該船會進入警戒水域.

進入警戒水域所行駛的路程為海里             …………………………13分

小時，所以經過警戒水域的時間為小時.      …………………………14分