Question

已知數列滿足．
（1）證明數列為等比數列，并求出數列的通項公式；
（2）若數列滿足．證明：數列是等差數列．
（3）證明：．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）證明數列為等比數列，就是證明為一個常數. 因為,所以，所以,是以2為首項,2為公比的等比數列. 則,即,；（2）證明數列是等差數列，就是要證明為一個常數．首先化簡等式，即，所以，這實質是，因此作差消去得：，再作差消去常數得：，，即；（3）證明數列不等式，一般有兩個思路，一是求和，二是放縮.本題由于通項不適宜求和，所以嘗試放縮，即利用變量分離進行放縮，由，得.
試題解析：（1）因為,所以,且,
所以,是以2為首項,2為公比的等比數列.  2分
則,即,.  3分
（2）因為所以.   4分
所以    ①
 ②      6分
②-①,得  
即   ③
   ④  8分
④-③,得,
即
得, 10分
所以數列為等差數列.
(3）因為, 11分
所以. 12分